动物协会

随机凸包

Tue, 22 May 2018 17:25:30 +0300

在一个圆周上随机分布着3个点，问组成的三角形包括圆心的概率是多大？（每个点都平均分布且独立）。在 \(n\) 维球面上分布着\(n＋2\)个点的话概率又是多少？假如有 \(n＋k\)个点呢？

整数五子棋

Tue, 10 Apr 2018 17:25:30 +0300

海绵宝宝和章鱼哥玩下面的游戏：海绵宝宝选一个整数，章鱼哥选 \(k\) 个整数，轮着选，海绵宝宝不能选章鱼哥选过的数，如果某一轮后海绵宝宝挑的数里面有一个长为 10 的等差数列，则海绵宝宝获胜。请问：章鱼哥输定了吗？

100人猜数字

Mon, 19 Mar 2018 17:25:30 +0300

100个房间，每个房间里有可数个盒子，标号1,2,3 。。。在每个盒子里有一个实数。对任意自然数n，全部标号为n的盒子里的数都是一样的。 100位数学家玩以下游戏：在讨论完策略后，每个数学家各自进入不同的房间，彼此之间不再交流。在房间里，每个数学家可以打开任意多的盒子并看到里面的实数，但不能打开全部盒子（即至少有一个盒子不打开）。每个数学家必须选择一个没打开的盒子，并对里面的数字作出预测。如果至少99个数学家猜对，那么全体赢得游戏。是否存在必胜策略？

数论猜数字

Mon, 19 Mar 2018 17:25:30 +0300

鬼谷子从2到99里选出2个不同的整数，把两数之和告诉路庞涓，把乘积告诉了孙膑。庞涓对孙膑说：虽然我无法确定这两个数是什么，但我肯定你也不知道这两个数是什么。孙膑说：本来问不知道，你这么一说，我就知道了。庞涓说：那我也知道了。

这2个数是什么？

读心术

Mon, 19 Mar 2018 17:25:30 +0300

甲在心里想一个实数，丙开始猜这个数，丙只能问如下的问题：“这个数是不是x？”，甲回答是或者否，问丙能否有一个随机的策略使得其百分百在有限次内猜出这个实数？

会长的话

Consider the following probability space: \((\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\), where \(\Omega=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}=\{\omega=(\omega_1,\omega_2 ,\ldots)\}\), let \(x\in \mathbb{R}\), define \(A_x=\{\omega:x\in \omega\}\subset \Omega\). Let \(F\subset \mathbb{R}\) be finite or countable, let \(A_F=\cap_{x\in F}A_x\). Define \[\mathcal{F}=\{B\subset \Omega| \exists F,\ A_F\subset B \text{ or }\exists F,\ B\subset A_F^c\}.\] One can check that \(\mathcal{F}\) is a sigma-algebra, moreover, an element of \(\mathcal{F}\) is either with \(A_F\subset B\) for some \(F\) (called the first type) or \(B\subset A_F^c\) for some \(F\). Define the probability be \(\mathbb{P}(B)=1\) is \(B\) is of the first type, otherwise \(\mathbb{P}(B)=0\). Can check that \(\mathbb{P}\) is a probability measure.

Now sampel a sequence \(\omega\) with \(\mathbb{P}\), guess the number one by one in the sampled sequence, for any fix real \(x\), \(\mathbb{P}(\omega\in A_x)=1\), that is, almost surely, with finitely many guess we guess correctly the target.

整系数多项式问题

Sat, 03 Mar 2018 17:25:30 +0300

如果一个整系数多项式\(P(X_1 ,\ldots,X_n)\)，对于任意\(x_1 ,\ldots,x_n\in \mathbb{Z}\)， \(P(x_1 ,\ldots,x_n)\)是一个完全平方数，是否存在整系数多项式\(Q\)，使得\(P=Q^2\).

旋转立方

Sat, 03 Mar 2018 17:25:30 +0300

将一个立方体扰着对角线\(AC_1\)旋转一周，会得到以下哪个图形？

会长的话

答案是D，反正我是信了。

无理数次方问题

Sat, 03 Mar 2018 17:25:30 +0300

無理數的無理數次方能不能是有理數？無理數的無理數的無理數次方呢？
虛數的虛數次方能不能是實數？
超越数的自己次方能否是有理数？

会长的话

\(x\mapsto x^x\) 是连续递增函数，比如\((\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=2\).

Gelfond, Schneider 定理: 如果 \(a,b\) 是代数数, 且 \(a\notin \{0,1\},b\notin \mathbb{Q}\), 那么 \(a^b\) 是超越数. 如果 \(x\in \mathbb{Q}_{>0}\) 使得 \(x^x\in \mathbb{Q}\) 那么 \(x\in \mathbb{Z}\).

Lindemann-Weierstrass: \(e,\log 2\) 都是超越数, 但 \(e^{\log 2}=2\).

其它类似问题： \(\pi^\pi\notin \mathbb{Q}\), \(\pi^{\pi^\pi},\ \pi^{\pi^{\pi^\pi}}\) 是整数吗?

更多相关信息： here

动物协会

Sat, 10 Feb 2018 17:25:30 +0300

你在路上一个分叉口，你知道只有一条路通往动物协会，但不知道是两条中的哪一条。三个动物协会会员在附近，分别是哈哈狗，嘻嘻熊和浮夸海豹，你问它们应该怎么走，它们分别说：

哈哈狗：走左边。嘻嘻熊：走右边。浮夸海豹：如果我们之中有2个诚实会员，那你应该听哈哈狗同志的话。

已知动物协会的成员中诚实会员只说真话，浮夸会员只说假话，且只有这两种会员，问你应该走哪条路？

You come to a fork in the road. You know that exactly one of the paths leads to the city, but you do not know which one. You see three natives, named Alan, Beth and Carl, standing nearby, and you ask them which path you should take. They make the following statements.

Alan: You should take the left fork. Beth: No! You should take the right fork. Carl: If there are at least two knights among us, then you should listen to Alan.

Which path will take you to the city?

会长的话

浮夸海豹不浮夸，他其实和哈哈狗一样是诚实会员，所以走左边。

十字绞杀长方形

Tue, 30 Jan 2018 17:25:30 +0300

在平面上有有限个长方形，它们的边都与XY轴平行，而且，任意两个长方形，我们都能找出一条水平线或者垂直线同时穿过这2个长方形，已知这些长方形互不相交，证明：可以画一个十字（一条水平线和一条垂直线），使得这个十字穿过所有的长方形。

Given a finite number of rectangles, the edges are all parallele to the x,y axis. Such that, any two of them, we can draw a vertical line or a horizontal line that cross both of them, they are all disjoint. Prove that, we can draw a cross (that is, a vertical line and a horizontal line), that joint all the rectangles.

哎哟，我的眼睛

Mon, 15 Jan 2018 17:25:30 +0300

一个正方体内部全是镜子，史勿心同学站在一个角上，用一束激光照向某个方向，问他是否能够通过反射成功闪瞎自己的狗眼？

A 3D cube we stand at one corner, all the faces are mirrors and we have a bean light, can we point at some direction and blind ourself (that means, the light bean hit the corner exactly where we standed after several reflections).

小学数学太难了系列2

Mon, 08 Jan 2018 17:25:30 +0300

在乘积\(2018\cdots 2018\times 15151414\cdots 0707\)的十进制表示中，共有多少个奇数？

A question you can ask to chiese primary school students, how many odd digits are there in the product \(2018\cdots 2018\times 15151414\cdots 0707\), where the first factor is 2018 repeated 28 times.

会长的话

\(2018\times 1515\cdots0707=9999\times c,\ \ c\in \mathbb{Z}\)，根据杯中兔同志的计算，答案是71.

最小并集问题

Sun, 05 Nov 2017 17:25:30 +0300

令 \(A_1, ..., A_n\) 爲元素個數互不相等的n個正整數集且滿足對任意的\(i，j\)， \(A_i \notsubset A_j\)。求它們幷集的元素個數的最小值。

Let \(A_1 ,\ldots,A_n\) be finite subsets of positive integers, such that no two of the \(A_i\) have same number of elements and \(A_i\) is not a subset of \(A_j\) for \(i\ne j\). What is the smallest possible number of elements in \(\cup_i A_i\)?

小学数学太难了系列1

Sat, 07 Oct 2017 17:25:30 +0300

是否存在一个整数,使得它的1倍,2倍,…,500000 倍的末六位不是 6个一样的数字, 即 000000, 111111, … , 999999.

长方形？不存在的，点阵

Wed, 13 Sep 2017 17:25:30 +0300

在一個 n x n 的點陣裏最多能取出多少個點使得任意四點都不組成垂直/水平放置的長方形。

Size of maximal set of points in an n X n (side length) grid such that no 4-set of it forms a rectangle with horizontal/vertical sides.