\(x\mapsto x^x\) 是连续递增函数， 比如\((\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=2\).

Gelfond, Schneider 定理: 如果 \(a,b\) 是代数数, 且 \(a\notin \{0,1\},b\notin \mathbb{Q}\), 那么 \(a^b\) 是超越数. 如果 \(x\in \mathbb{Q}_{>0}\) 使得 \(x^x\in \mathbb{Q}\) 那么 \(x\in \mathbb{Z}\).

Lindemann-Weierstrass: \(e,\log 2\) 都是超越数, 但 \(e^{\log 2}=2\).

其它类似问题： \(\pi^\pi\notin \mathbb{Q}\), \(\pi^{\pi^\pi},\ \pi^{\pi^{\pi^\pi}}\) 是整数吗?

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